\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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%%文档的题目、作者与日期
\author{通义千问、五六七}
\title{数量金融实验 - 专题7 - Black-Scholes公式}
%\date{2025年10月10日}

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\begin{document}

\maketitle

\abstract{本文介绍期权定价的Black-Scholes公式。}

\tableofcontents

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\section{模型背景}

1973年，Fischer Black 和 Myron Scholes 提出了著名的 \textbf{Black-Scholes 期权定价模型}，为欧式期权的理论定价提供了数学框架。该模型成为现代金融工程的基石之一，并获得了1997年诺贝尔经济学奖（Scholes 与 Merton 共享）。

\section{模型假设}

Black-Scholes 模型基于以下理想化假设：

\begin{itemize}
    \item 标的资产价格服从几何布朗运动（GBM），即：
    \[
    dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t
    \]
    其中 $S_t$ 是资产价格，$\mu$ 是期望收益率，$\sigma$ 是波动率，$W_t$ 是标准布朗运动。
    
    \item 无风险利率 $r$ 为常数且已知。
    
    \item 市场无摩擦：无交易成本、无税收、资产可无限分割。
    
    \item 允许卖空标的资产。
    
    \item 在期权有效期内，标的资产不支付股息（原始模型）。
    
    \item 市场是连续交易的，且无套利机会。
\end{itemize}

\section{基本思路}

核心思想是构建一个由期权和标的资产组成的无风险对冲组合（Delta 对冲），使其在极短时间内收益等于无风险利率。通过消除随机性，得到一个偏微分方程（PDE），进而求解期权价格。

关键步骤：
\begin{enumerate}
    \item 构造投资组合 $\Pi = V - \Delta S$，其中 $V = V(S,t)$ 是期权价格，$\Delta = \partial V / \partial S$。
    \item 应用伊藤引理（Ito's Lemma）求 $dV$。
    \item 选择 $\Delta$ 使得组合无风险（消除 $dW_t$ 项）。
    \item 令组合收益率等于无风险利率 $r$，得到 Black-Scholes PDE。
\end{enumerate}

\section{公式推导}

根据伊藤引理，期权价格变化为：
\[
dV = \frac{\partial V}{\partial t}dt + \frac{\partial V}{\partial S}dS + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(dS)^2
\]
代入 $dS = \mu S dt + \sigma S dW$ 和 $(dS)^2 = \sigma^2 S^2 dt$（忽略高阶项），得：
\[
dV = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \mu S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right)dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} dW
\]

构造组合 $\Pi = V - \Delta S$，取 $\Delta = \partial V / \partial S$，则：
\[
d\Pi = dV - \Delta dS = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right)dt
\]
此组合无风险，故 $d\Pi = r\Pi dt = r(V - \Delta S)dt$。

联立得：
\[
\frac{\partial V}{\partial t} + rS \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} - rV = 0
\]
这就是 \textbf{Black-Scholes 偏微分方程}。

\section{定价公式}

对于欧式看涨期权（Call Option），边界条件为 $C(S,T) = \max(S-K, 0)$，其解为：

\[
C(S,t) = S N(d_1) - K e^{-r(T-t)} N(d_2)
\]

其中：
\[
d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}, \quad
d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t}
\]

$N(\cdot)$ 是标准正态分布的累积分布函数。

对于欧式看跌期权（Put Option），由看涨-看跌平价关系或直接求解得：

\[
P(S,t) = K e^{-r(T-t)} N(-d_2) - S N(-d_1)
\]

\section{例子计算}

设某股票当前价格 $S = 100$ 元，执行价 $K = 100$ 元，无风险利率 $r = 5\%$（年化），波动率 $\sigma = 20\%$，到期时间 $T-t = 1$ 年。求欧式看涨期权价格。

\textbf{解：}
\[
d_1 = \frac{\ln(100/100) + (0.05 + 0.2^2/2)(1)}{0.2 \sqrt{1}} = \frac{0 + 0.07}{0.2} = 0.35
\]
\[
d_2 = 0.35 - 0.2 = 0.15
\]
查表或计算得：
\[
N(d_1) \approx N(0.35) \approx 0.6368, \quad N(d_2) \approx N(0.15) \approx 0.5596
\]
所以：
\[
C = 100 \times 0.6368 - 100 \times e^{-0.05} \times 0.5596 \approx 63.68 - 100 \times 0.9512 \times 0.5596 \approx 63.68 - 53.25 = 10.43
\]
因此，看涨期权价格约为 \textbf{10.43 元}。

\section{练习}

\begin{enumerate}
    \item 使用上述参数，计算对应的欧式看跌期权价格，并验证看涨-看跌平价关系：$C - P = S - Ke^{-rT}$。
    \item 若波动率提高到 $30\%$，重新计算看涨期权价格，分析波动率对期权价值的影响。
    \item 推导 $d_2$ 的表达式，并解释其经济含义。
    \item 计算该期权的 Delta ($\partial C / \partial S$)，并说明其对冲意义。
\end{enumerate}


\section{应用}
\begin{itemize}
    \item 欧式期权（尤其是股指期权、外汇期权）的理论定价。
    \item 计算隐含波动率（Implied Volatility）。
    \item 风险管理中的希腊值（Greeks）计算。
    \item 作为更复杂模型（如随机波动率模型）的基准。
\end{itemize}


\section{局限}
\begin{itemize}
    \item 假设波动率恒定，但现实中存在“波动率微笑”现象。
    \item 假设价格连续，忽略跳跃风险（可用跳扩散模型改进）。
    \item 不适用于美式期权（因可提前行权）。
    \item 假设无交易成本，实际中高频对冲成本高。
\end{itemize}

\section{总结}

Black-Scholes 模型通过严格的数学推导，将期权定价问题转化为求解偏微分方程，开创了量化金融的新纪元。尽管有其局限性，它仍是理解衍生品定价原理的起点和重要工具。


\end{document}